Ceci est la Proposition 2.1.15 dans le polycopier de Valérie LASMOLLES

Soient $S_{1}, S_{2}$ deux surfaces régulières de $\mathbb{R}^{3}$ qui s'intersectent en un point $p$. On suppose que les plans tangents $T_{p} S_{1}$ et $T_{p} S_{2}$ sont distincts. Alors, au voisinage de $p$, l'intersection $S_{1} \cap S_{2}$ est une courbe dont la tangente en p est l'intersection $T_{p} S_{1} \cap T_{p} S_{2}$ des deux plans tangents.

Choisissons un repère centré en $p$, dont le troisième vecteur n'appartient ni à $T_{p} S_{1}$ , ni à $T_{p} S_{2}$. On peut alors exprimer localement $S_{1}$ et $S_{2}$ comme des graphes de fonctions lisses au dessus du plan $x O y$,

$$z=f_{i}(x, y) \text { avec } f_{i}(0,0)=0.$$

L'intersection $S_{1} \cap S_{2}$ est ainsi définie comme l'image, par l'une des paramétrisations, de la courbe définie de façon implicite par l'équation

$$f(x, y)=f_{1}(x, y)-f_{2}(x, y)=0.$$

Il suffit donc de vérifier que la différentielle de $f$ en $(0,0)$ n'est pas nulle: l'ensemble $\{(x, y) / f(x, y)=$$0\}$ définira ainsi une courbe plane régulière et son image par la paramétrisation sera une courbe gauche régulière tracée sur $S_{1}$ et $S_{2}$. Or l'annulation de $D f_{(0,0)}$ se traduit par

$$\frac{\partial f_{1}}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial f_{2}}{\partial x}(0,0) \text { et } \frac{\partial f_{1}}{\partial y}(0,0)=\frac{\partial f_{2}}{\partial y}(0,0),$$

ce qui signifie que les plans tangents $T_{p} S_{1}$ et $T_{p} S_{2}$ sont les mêmes. Notons $\mathcal{C}$ la courbe régulière qui est l'intersection de $S_{1}$ et $S_{2}$ au voisinage de $p.$ Notons que la tangente $D$ à $\mathcal{C}$ en $p$ est contenue dans $T_{p}\left(S_{1}\right)$ puisque $\mathcal{C}$ est tracée sur $S_{1}$. La droite $D$ est de même contenue dans $T_{p} S_{2},$ c'est donc en fait $T_{p} S_{1} \cap T_{p} S_{2}$ puisque ces deux plans se coupent le long d'une droite.